随机树

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$Random$ $Tree$

$Description$

一个有 $n$ 个节点的树可通过等概率选定节点展开的方式生成，现在有问题 $1$ 与 $2$ ，对于问题 $1$ ，求叶节点平均深度的数学期望值，对于问题二，求树深度的数学期望值，约定根节点深度为 $0$ 。

$Solution$

先考虑第一问，求叶节点平均深度的期望值，这一问我们可以设 $f[i]$ 表示一棵有 i 个叶子节点的树的平均深度，总共就有 $f[i] \times i$ 的平均深度和。

显然，此处的贡献就是在当前 $i - 1$ 个节点中选择一个，使深度增加 $2$ ，节点数增加 $1$ ，所以转移方程就是
$$
f[i] \times i = f[i - 1] \times (i - 1) + (f[i - 1] + 1) \times 2 - f[i - 1]
$$
即
$$
f[i] = f[i - 1] + \frac{2}{i}
$$
然后我们考虑第二问。

我们设 $f[i][j]$ 为一棵有 $i$ 个叶子节点的树深度 $>=j$ 的概率。

显然答案就是
$$
E(X) = \sum_{i = 1}^{n - 1}f[n][i]
$$
然后考虑怎么转移。

我们用 $f[i][j]$ 表示转移到的树的状态， $f[k][j - 1]$ 表示左子树的状态， $f[i - k][j - 1]$ 表示右子树的状态。

就有
$$
f[i][j] = \frac{f[k][j - 1] + f[i - k][j - 1] - f[k][j - 1] \times f[i - k][j - 1]}{i - 1}
$$
转移式其实就是代表我们用左子树与右子树拼出了一颗新树，显然形成这棵树的概率是一个容斥的式子，就是左子树深度 $>= j - 1$ 的概率加上右子树深度 $>= j - 1$ 的概率再减去左右子树深度均 $>= j - 1$ 的概率，就是形成这棵新树的概率。

然后我们考虑为什么要除以 $i - 1​$ 。

让我们回到上一个状态，当时有 $i - 1$ 个叶子节点个数，我们从中选取一个节点拓展，获得了当前的 $f[i][j]$ ，所以构造出当前的 $f[i][j]$ 有 $\dfrac{1}{i - 1}​$ 的概率。

就做完了。

$Code:$

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#include<bits/stdc++.h>
//#include<tr1/unordered_map>
//#include"Bignum/bignum.h"
//#define lll bignum
#define ls(x) ( x << 1 )
#define rs(x) ( x << 1 | 1 )
//#define mid ( ( l + r ) >> 1 )
#define lowbit(x) ( x & -x )
#define debug(x) (cout << "#x = " << x << endl)
#define re register
#define For(i, j, k) for(re int i = (j); i <= (k); i++)
#define foR(i, j, k) for(re int i = (j); i >= (k); i--)
#define Cross(i, j, k) for(re int i = (j); i; i = (k))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1011;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f;

ll q, n;

namespace IO {

    #define dd ch = getchar()
    inline ll read() {
        ll x = 0; bool f = 0; char dd;
        for (; !isdigit (ch); dd) f ^= (ch == '-');
        for (; isdigit (ch); dd)  x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        return f? -x: x;
    }
    #undef dd

    inline void write( ll x ) {
        if ( x < 0 ) putchar ( '-' ), x = -x;
        if ( x > 9 ) write ( x / 10 );
        putchar ( x % 10 | 48 );
    }

    inline void wrn ( ll x ) { write (x); putchar ( ' ' ); }

    inline void wln ( ll x ) { write (x); putchar ( '\n' ); }

    inline void wlnn ( ll x, ll y ) { wrn (x), wln (y); }

}

using namespace IO;

namespace Subtask1 {
    
    double f[N];
    
    inline void main () {
        For ( i, 2, n ) f[i] = f[i - 1] + 2.0 / i;
        printf ("%.6lf", f[n]); exit (0);
    }
    
}

namespace Subtask2 {
    
    double ans = 0.0, f[N][N], g[N][N];
    
    inline void main () {
        For ( i, 1, n ) f[i][0] = 1;
        For ( i, 1, n ) For ( j, 1, i - 1 ) {
            For ( k, 1, i - 1 ) 
                f[i][j] = f[i][j] + 
                    (f[k][j - 1] + f[i - k][j - 1] 
                        - f[k][j - 1] * f[i - k][j - 1]);
            f[i][j] /= (i - 1);
        }
        For ( i, 1, n - 1 ) ans += f[n][i];
        printf ("%.6lf", ans); exit (0);
    }
    
}

int main() {
//  freopen(".in", "r", stdin);
//  freopen(".out", "w", stdout);
    q = read(), n = read();
    if ( q == 1 ) Subtask1::main ();
    if ( q == 2 ) Subtask2::main (); return 0;
}

/*
1 4

2.166667

2 4

2.666667

1 12

4.206421

2 12

5.916614
*/

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