序列统计

发表于
本文字数： 3.1k | 阅读时长 ≈ 3 分钟

$Sequence$ $Statistics$

$Description$

给定三个整数 $N,L$ 和 $R$，统计长度在 $1$ 到 $N$ 之间，元素大小都在 $L$ 到 $R$ 之间的单调不降序列的数量，对 $10^6 + 3$ 取模。

$Solution$

观察本题，我们会发现如果他是单调上升序列，那么会非常好做，直接 $\sum_{i = 1}^{n} C_{r - l + 1}^{i}$ 就完事了，但这题是单调不降序列，所以，此处有一个经典套路做法，把所有数字加上他自己的下标，转换成求单调不降序列来做。

如此，数的取值范围就是 $[l + 1, r + n]$ 。

然后答案就是有 $r - l + 1$ 个数可选，总共有 $r - l + n$ 个数。

也就是
$$
Ans = \sum_{i = 1}^{n} C_{r - l + i}^{r - l}
$$
显然这个东西复杂度是 $O(n)$ 的，所以我们考虑找规律优化。

我们把 $\sum$ 展开
$$
Ans = C_{r - l + 1}^{r - l} + C_{r - l + 2}^{r - l} \ldots + C_{r - l + n}^{r - l}
$$
然后我们考虑在前面加一项 $C_{r - l}^{r - l}$ ，就可以用组合数递推通项公式合并了。

最后的答案就是
$$
C_{r - l + 1 + n}^{r - l} - C_{r - l}^{r - l}
$$
即
$$
Ans = C_{r - l + 1 + n}^{r - l} - 1
$$
就做完了。

$Code:$

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
#include<bits/stdc++.h>
//#include<tr1/unordered_map>
//#include"Bignum/bignum.h"
//#define lll bignum
#define ls(x) ( x << 1 )
#define rs(x) ( x << 1 | 1 )
//#define mid ( ( l + r ) >> 1 )
#define lowbit(x) ( x & -x )
#define debug(x) (cout << "#x = " << x << endl)
#define re register
#define For(i, j, k) for(re int i = (j); i <= (k); i++)
#define foR(i, j, k) for(re int i = (j); i >= (k); i--)
#define Cross(i, j, k) for(re int i = (j); i; i = (k))
using namespace std;
typedef long long ll;
const ll N = 1000011;
const ll p = 1e6 + 3;
const ll inf = 0x3f3f3f3f3f3f;

ll T, n, l, r, fac[N + 5];

namespace IO {

    #define dd ch = getchar()
    inline ll read() {
        ll x = 0; bool f = 0; char dd;
        for (; !isdigit (ch); dd) f ^= (ch == '-');
        for (; isdigit (ch); dd)  x = (x << 3) + (x << 1) + (ch ^ 48);
        return f? -x: x;
    }
    #undef dd

    inline void write( ll x ) {
        if ( x < 0 ) putchar ( '-' ), x = -x;
        if ( x > 9 ) write ( x / 10 );
        putchar ( x % 10 | 48 );
    }

    inline void wrn ( ll x ) { write (x); putchar ( ' ' ); }

    inline void wln ( ll x ) { write (x); putchar ( '\n' ); }

    inline void wlnn ( ll x, ll y ) { wrn (x), wln (y); }

}

using namespace IO;

inline void Init() {
    fac[0] = 1;
    For ( i, 1, N ) fac[i] = fac[i - 1] * i % p;
}

inline ll power ( ll a, ll b ) {
    ll res = 1;
    for (; b; b >>= 1, a = a * a % p) res = (b & 1)? res * a % p: res;
    return res;
}

inline ll Inv ( ll a, ll p ) { return power ( a, p - 2 ); }

inline ll C ( ll n, ll m ) {
    return n < m? 0: fac[n] * Inv (fac[m], p) % p * Inv (fac[n - m], p) % p;
}

inline ll Lucas ( ll n, ll m ) {
    return !m? 1: C (n % p, m % p) * Lucas (n / p, m / p) % p;
}

int main() {
//  freopen(".in", "r", stdin);
//  freopen(".out", "w", stdout);
    Init();
    T = read(); while ( T-- ) {
        n = read(), l = read(), r = read();
//        debug ( (r - l + 1 + n) / p );
        wln ( (Lucas ( r - l + 1 + n, r - l + 1 ) - 1 + p) % p );
    } return 0;
}

/*
1
728257683 297206817 944126618

1000002
*/

题目链接